בגרות חורף 2026 · שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: מרובע ABCD ומשולש CDE3 יחידות 372 · שיעור 21

בגרות חורף 2026 · שאלה 2

בגרות חורף 2026 · שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: מרובע ABCD ומשולש CDE

פרק 3 – הקו הישר

1נוסח השאלה

2סעיף א (1) – שיעורי A

3סעיף א (2) – משוואת AD

4סעיף ב – שיעורי D

5סעיף ג – שיעורי C

6סעיף ד – היקף המשולש CDE

📄 נוסח השאלה

נתון מרובע ABCD. הקודקוד A נמצא על ציר ה־x, הצלע CD מקבילה לציר ה־x, והצלע AB מאונכת לצלע AD, כמתואר בסרטוט.

משוואת הצלע AB היא y = −12x + 5.

א. (1) מצאו את שיעורי הקודקוד A.

(2) מצאו את משוואת הצלע AD.

משוואת האלכסון BD היא y = 0.75x + 2.5.

📄 נוסח השאלה · המשך

ב. מצאו את שיעורי הקודקוד D.

אורך הצלע CD הוא 4.

ג. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

הנקודה E היא אמצע הצלע AD.

ד. חשבו את היקף המשולש CDE.

סעיף א (1) – שיעורי A

A על ציר ה־x, ולכן נציב y = 0 במשוואת AB:

📐 כלל: נקודה על ציר ה־x

y = −12x + 5

נציב y = 0:

0 = −12x + 5

12x = 5

x = 10

📐 כלל: נקודה על ציר ה־x

y = 0

סעיף א (1) – שיעורי A · המשך

x = 10

A(10 , 0)

✅ פתרון סופי: A(10 , 0)

סעיף א (2) – משוואת AD

שיפוע הצלע AB:

📐 כלל: שיפוע מתוך משוואת ישר

m_AB = −12

AD מאונכת ל־AB, ולכן מכפלת השיפועים היא −1:

📐 כלל: ישרים מאונכים

m_AB · m_AD = −1

נציב m_AB = −12:

−12 · m_AD = −1

📐 כלל: שיפוע מתוך משוואת ישר

y = mx + n
המקדם של x הוא השיפוע m

📐 כלל: ישרים מאונכים

m₁ · m₂ = −1

סעיף א (2) – משוואת AD · המשך

−12 · m_AD = −1

m_AD = 2

הישר AD עובר דרך A(10 , 0):

📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

y − y₁ = m(x − x₁)

נציב m = 2 , x₁ = 10 , y₁ = 0:

y − 0 = 2(x − 10)

📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

y − y₁ = m(x − x₁)

סעיף א (2) – משוואת AD · המשך

y − 0 = 2(x − 10)

y = 2x − 20

✅ פתרון סופי: y = 2x − 20

סעיף ב – שיעורי D

D היא נקודת המפגש של הצלע AD עם האלכסון BD. נשווה את שתי המשוואות:

📐 כלל: מפגש שני ישרים

2x − 20 = 0.75x + 2.5

2x − 0.75x = 2.5 + 20

1.25x = 22.5

x = 18

y = 2x − 20

📐 כלל: מפגש שני ישרים

פותרים את מערכת שתי המשוואות

סעיף ב – שיעורי D · המשך

y = 2x − 20

נציב x = 18 במשוואת AD:

y = 2 · 18 − 20 = 16

D(18 , 16)

✅ פתרון סופי: D(18 , 16)

סעיף ג – שיעורי C

CD מקבילה לציר ה־x, ולכן ל־C אותו שיעור y כמו ל־D:

📐 כלל: ישר מקביל לציר ה־x

y_C = 16

אורך CD הוא 4, ולפי הסרטוט C נמצאת משמאל ל־D, ולכן נחסר 4 משיעור ה־x של D:

x_C = 18 − 4 = 14

C(14 , 16)

✅ פתרון סופי: C(14 , 16)

📐 כלל: ישר מקביל לציר ה־x

y = k
לכל הנקודות על הישר אותו שיעור y

סעיף ד – היקף המשולש CDE

E אמצע AD, כאשר A(10 , 0) ו־D(18 , 16):

📐 נוסחה: אמצע קטע

x_E = x₁ + x₂2

נציב x₁ = 10 , x₂ = 18:

x_E = 10 + 182 = 14

y_E = y₁ + y₂2

נציב y₁ = 0 , y₂ = 16:

📐 נוסחה: אמצע קטע

x_M = x₁ + x₂2 , y_M = y₁ + y₂2

סעיף ד – היקף המשולש CDE · המשך

נציב y₁ = 0 , y₂ = 16:

y_E = 0 + 162 = 8

E(14 , 8)

נחשב את אורכי הצלעות של המשולש CDE:

CD = 4

DE = √((x_D − x_E)² + (y_D − y_E)²)

סעיף ד – היקף המשולש CDE · המשך

DE = √((x_D − x_E)² + (y_D − y_E)²)

נציב D(18 , 16) , E(14 , 8):

DE = √((18 − 14)² + (16 − 8)²)

📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות

DE = √(16 + 64) = √80 = 4√5

CE = √((x_C − x_E)² + (y_C − y_E)²)

נציב C(14 , 16) , E(14 , 8):

📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות

d = √((x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²)

סעיף ד – היקף המשולש CDE · המשך

נציב C(14 , 16) , E(14 , 8):

CE = √((14 − 14)² + (16 − 8)²)

📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות

CE = √64 = 8

נחבר את שלוש הצלעות:

📐 הגדרה: היקף משולש

P = CD + DE + CE

נציב CD = 4 , DE = 4√5 , CE = 8:

📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות

d = √((x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²)

📐 הגדרה: היקף משולש

היקף = סכום שלוש הצלעות

סעיף ד – היקף המשולש CDE · המשך

נציב CD = 4 , DE = 4√5 , CE = 8:

P = 4 + 4√5 + 8 = 12 + 4√5

P ≈ 20.94

✅ פתרון סופי: 12 + 4√5 ≈ 20.94

📌 סיכום התשובות

א (1)

A(10 , 0)

א (2)

y = 2x − 20

D(18 , 16)

C(14 , 16)

12 + 4√5 ≈ 20.94

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא